Главная страница

Главная страница | Архив | Содержание номера

Номер 18(329) 3 сентября 2003 г.

Борис КУШНЕР (Питтсбург)

Учитель

Но в памяти такая скрыта мощь,
Что возвращает образы и множит…
Шумит, не умолкая, память-дождь,
И память-снег летит и пасть не может.
                                            Д. Самойлов

Разумеется, единицы измерения времени условны. Столь же условны и круглые даты. Но ведь вся наша жизнь, в конечном счёте, определяется соглашениями, иногда явными, высказанными, иногда подразумеваемыми. Из-за этих молчаливых соглашений, усваиваемых постепенно, начиная с колыбели, так трудно взрослому человеку «вжиться» в другую культуру, цивилизацию. Он не понимает подчас самых простых ситуаций, а другая сторона не понимает, что он не понимает вещей, столь очевидных, что о них никто и не задумывается.

И всё-таки при всей условности дат, делящихся на пять, десять, на сто и т.д1., они играют существенную роль в нашей жизни, обозначая вехи и границы. Помню, с каким трепетом ждал я появления двойки с тремя нулями 31 декабря 1999 г. И это несмотря на то, что новый век, новое тысячелетие по всем историческим канонам начиналось лишь в ночь на 2001 г. В результате многие вещи стали звучать для меня футуристично, многие печально. Всю жизнь я привык говорить и писать «прошлый век», «в прошлом веке» и т.д., имея ввиду 19-й век, время Бетховена, Гаусса, Пушкина, Шумана, Брамса, Листа… А теперь мой собственный век (и не со мною ли вместе?) оказался «прошлым»2. Да что век, само тысячелетие ушло, странно чувствовать себя человеком «прошлого тысячелетия». Уже почти палеонтология получается.

И вот незаметно подходит ещё одно круглое, трехзначное число. Столетие моего Учителя, одного из самых выдающихся математиков 20-го века Андрея Андреевича Маркова, Младшего. Вечная река Лета течёт незаметно, но уносит нас она неотвратимо, безостановочно… Оторвёшься на мгновение от суеты, и холод по спине, как изменился пейзаж, как далеко остались фиалковые луга детства, да что же там детство… Кажется, вчера встретил я на Ленинских Горах (теперь снова Воробьёвых, если не ошибаюсь) будущего своего Учителя. Стремительная походка, прямая осанка, ослепительный контраст голубых глаз и седых волос. Всё необычно, всё из ряда вон. Я уже знал, что это Андрей Андреевич Марков и что только что отмечалось его шестидесятилетие. И была осень, и шёл 1963-й год… Сорок лет назад. И уже собственное моё шестидесятилетие незаметно пришло и минуло…

Мы, ученики Андрея Андреевича, просто обязаны написать о нём, о нашем времени. Пока помним, сколько помним. Пока живём.

В меру своих сил я пробую сделать это. Эти строки посвящаются памяти моего Учителя и памяти трёх его учеников и последователей, дорогих друзей и коллег, безвременно ушедших из жизни. Вот их имена: Сергей Юрьевич Маслов (10 июня 1939 г. — 29 июля 1982 г.), Освальд Демут (Oswald Demuth) (9 декабря 1936 г. — 15 сентября 1988 г.), Альберт Григорьевич Драгалин (10 апреля 1941 г. — 18 декабря 1998 г.) О каждом из них я коротко расскажу ниже, каждый из них — отдельный особенный мир3.

Математика вспоминается многим бесконечными списками формул (одна тригонометрия чего стоит), в лучшем (или в худшем, как для кого) случае рядами теорем, вместе с которыми надо, вдобавок, ещё и доказательства запоминать. И экзамены! Кошмар экзаменов — школьных, вступительных, институтских… Сами математики представляются людьми не от мира сего, часто их «подозревают» в эмоциональной ущербности и, вместе с тем, наделяют необычайными общими умственными способностями. Вот эпизод из моего прошлого. Однажды я должен был встретиться с коллегой на станции метро «Фрунзенская». Станция эта тихая, уютная… Приехав туда заранее, я устроился на удобной деревянной скамье, и стал рассматривать клавир до-минорного фортепианного Концерта Моцарта. В самом рисунке нотных линий всегда было что-то меня завораживающее. Уходя из дому, я забыл сменить пальто, в котором гулял с моим сеттером Крассом. «Собачье» пальто было заслуженное — в следах глины и многочисленных когтей и зубов окрестных недругов моего пса. Вероятно, эта странная комбинация клавира и рваного пальто насторожила милиционера. Некоторое время он нервно прохаживался поблизости и, наконец, тихо попросил показать документы. Я протянул ему удостоверение члена Московского Математического Общества. Заглянув в него, страж порядка понимающе протянул «а…», с сочувствием козырнул и отошёл.

Конечно, все эти представления о математике и математиках от реальности далеки… Математика — безудержно драматическое занятие, как и всякая наука, в которой человек соревнуется, почти как Иаков, с Б-гом, открывая Вечные Истины, божественность которых неоспорима, а также соревнуется с себе подобными в этой борьбе за права Первопроходца. Достаточно вообразить строителя, озарённо возводящего великолепное здание, которое вдруг рушится, как карточный домик, поскольку самый первый камень оказался дефектным. Такие трагедии не единожды случались с математиками: бессонные ночи, дни, занятые упорными размышлениями, так что всё остальное вокруг воспринимается как бы через пелену. Наконец, вот она — Теорема. И… горькое прозрение, руины… В отличие от обыкновенного строителя здесь есть ещё одна эмоционально убийственная возможность: всё в порядке с самим Зданием, да оказывается, что кто-то его уже построил… Открытие кем-то уже открыто, Теорема кем-то уже доказана… Какие горькие, порой безобразные приоритетные споры возникают подчас4… Да, живая, очень живая наука — Математика. И очень живые и очень разные люди, математики. Не думаю, кстати, что они в целом «умнее» представителей иных профессий. Математические способности далеко не всегда даруются в качестве специального проявления общего интеллекта. Встречаются талантливые, более чем талантливые математики, которые вполне посредственны за пределами своей науки. С другой стороны, какие гармоничные Личности, какие целостные проявления Интеллекта можно встретить на дорогах этой Царицы Наук…

Поскольку мне предстоит рассказывать о Математике, невозможно совсем не касаться его науки. Я постараюсь удержаться от технических подробностей, формул и т.д., оставаясь скорее в рамках общефилософского контекста математических открытий и концепций. Читатель, которому эти части очерка покажутся трудными или скучными, может просто просматривать или даже опускать их.

Математику часто называют Царицей Наук. Действительно, именно она лежит в основании всего свода точных знаний, без которых немыслима наша цивилизация. К этому можно добавить невероятную красоту некоторых математических открытий, настоящих жемчужин нашего Духа. Вот, например, теорема Пифагора (приблизительно 580 г. — 500 г. до новой эры), пожалуй, самый известный математический факт, если оставить в стороне, что дважды два равно четырём. Недаром в многочисленных проектах посланий иным цивилизациям Пространства почти всегда фигурирует чертёж доказательства этой теоремы, поскольку представляется очевидной универсальность геометрической истины, общей любым проявлениям Интеллекта. Чертёж этот вошел даже и в грубоватую пословицу («пифагоровы штаны на все стороны равны»). В той же Пифагоровской школе были открыты иррациональные числа5. Значение этого события трудно переоценить, несомненно, речь идёт об одном из величайших достижений человеческого Духа. В геометрических терминах суть дела состоит в том, что сторона и диагональ квадрата не имеют общей меры. Невозможно найти такой эталон длины, который уложится целое число раз в обеих измеряемых длинах. Отсюда следует, что если установить стандарт длины, скажем, один см, и пытаться измерять в получившейся системе диагональ квадрата со стороной 1 см, то процесс измерения будет необходимо бесконечным. Греческие учёные шестого века до нашей эры оказались, таким образом, перед нелёгким выбором: либо признать существование новых иррациональных (сам термин говорит о некотором замирании сердца) чисел, либо допустить, что некоторые интервалы не имеют длины вообще (какой удар по геометрической интуиции!). Таким образом, в поле деятельности человека появились новые, идеальные объекты, соприкасающиеся с бесконечностью, и далеко выходящие за рамки непосредственного чувственного опыта6. С этим же открытием связана и знакомая почти по начальной школе процедура деления целых чисел с остатком, которую можно обобщить до процедуры нахождения наибольшего общего делителя двух положительных целых чисел. Эти древнейшие алгорифмы носят имя Евклида, греческого учёного, жившего в третьем веке до нашей эры. Его же традиция считает автором так называемых «Элементов» («Начала», 15 книг), свода греческой математики. Особенное значение имеет выполненное в «Элементах» аксиоматическое построение геометрии7. По своему месту в нашей цивилизации этот труд можно сопоставить, пожалуй, только с Библией.

А загадка числа π? Почему отношение длины окружности, этого воплощения симметрии и красоты, к её диаметру выражается иррациональным числом, несколько большим трёх? Почему, например, не просто три? Какие Тайны мира кроются в бесконечной последовательности знаков этой уникальной вселенской постоянной8?

Тайны безмерной глубины встречаются уже в самых начальных, школьных разделах математики. Некоторые из них волнуют человеческое воображение тысячелетиями. Такова загадка совершенных чисел. Положительное целое число называют совершенным, если оно равно сумме своих положительных делителей, меньших, чем оно само. Например, 6 = 1+2+3. Следующее совершенное число 28, за ним следует 496. Рост этих чисел поразителен, скажем, шестое по счёту совершенное число мерится уже миллиардами (8 589 869 056). Понятие совершенного числа восходит к пифагорейцам, т.е. к шестому веку до н.э. Последователи этой философской и математической школы развивали мистические учения о числах, наделяя некоторые из них особенными социальными и этическими свойствами. Такого рода свойства совершенных чисел волновали мыслителей на протяжение многих веков. Например, Бл. Августин (354 г. — 430 г.) считал, что Б-г, который мог бы создать мир за один миг, посвятил этой задаче шесть дней именно потому, что шесть — совершенное число, и это символизирует совершенство Творения. Интересно, однако, что мистическое число сатаны 666 записывается тремя шестёрками9.

Многие поколения математиков сражались и сражаются с загадками совершенных чисел. Например, все обнаруженные до сих пор совершенные числа — чётны, но неизвестно, бесконечна ли последовательность таких чисел. И уж совсем неприступной оказалась проблема совершенных нечетных чисел. Никто не знает, существует ли хоть одно нечётное совершенное число10

Но вернёмся к одному из Творцов математической науки, которому посвящён настоящий очерк.

Хочу сразу же сказать, что я не пишу работу по истории математики, скорее пытаюсь рассказать об А.А. Маркове, Мл., полагаясь в основном на свою память. Последняя же возвращает Прошлое картинами, вырванными из потока времени, фокусируется по прихоти неведомого Режиссёра на некоторых, не всегда самых значительных из них. Картины эти воспроизводятся на внутреннем языке Памяти в невероятно живой достоверности, во всём богатстве красок, звуков, эмоций… К сожалению, временные вехи в этом супероскаровском фильме не всегда расставлены, а те временные отметки которые всё же появляются, иногда обманчивы. Фотографическая формальная память, которой я был одарён в молодости, вместе с молодостью же и ушла, сменившись сокровищами ассоциаций, в которых, однако, меркнут точные числа и имена и которые иногда далеко уводят в сторону от выбранной дороги… Приношу заранее извинения за возможные невольные неточности…

Значительный вклад в письменные источники, относящиеся к биографии и научному наследию А.А. Маркова, Мл., сделан его многолетним сотрудником Николаем Макаровичем Нагорным. Н.М. Нагорный завершил рукопись монографии «Теория Алгорифмов»11 (огромной трудности задача!) и опубликовал эту монографию в двух изданиях. Он же опубликовал в 2002 году первый том двухтомного собрания избранных трудов А.А. Маркова, Мл12. (содержащий, помимо прочего, наиболее полный список марковских работ). В его предисловиях к этим изданиям, наряду со специальным материалом, адресованным специалистам, имеются ценные биографические сведения, персональные воспоминания, с которыми и интересно и полезно познакомиться широкому читателю.

Андрей Андреевич Марков, Младший (22 сентября 1903 г., Санкт-Петербург — 11 октября 1979 г., Москва) родился (единственным и поздним ребёнком) в семье великого русского математика Андрея Андреевича Маркова, Старшего (14 июня 1856 г., Рязань — 20 июля 1922 г., Петроград). А.А. Маркову, Ст. принадлежат первоклассные достижения в ряде областей математики, в теории вероятностей, в особенности. Любому математику, более того, любому специалисту, применяющему вероятностные методы, знаком термин «марковские цепи», «марковские процессы». Уже в 1896 г. он был избран академиком Российской Академии Наук. Марков, Ст. был человеком исключительной оригинальности, отличался прямым, сильным и независимым характером. Он был готов смело выступить против властей, или авторитетных учреждений в защиту того, что считал правильным. Это относилось не только к вопросам науки (он участвовал здесь в острых дискуссиях, вызывавших широкий отклик научной общественности). Большое волнение в своё время вызвало его прошение об отлучении от церкви, поданное в Святейший Синод (1912 г.). Митрополит Петербургский направил для «наставления и увещевания» протоиерея Орнатского, от бесед с которым Марков, однако, решительно отказался и, в конечном счёте, был от церкви отлучён. Поступок этот отмечен огромной смелостью, — роль Православной Церкви во всех сферах жизни дореволюционной России трудно переоценить.

Жизни и деятельности Андрея Андреевича Маркова, Ст. посвящена интереснейшая книга С.Я. Гродзенского13, в которой, в частности, можно найти полный текст прошения Маркова об отлучении от церкви. В этом невероятном для того времени шаге, несомненно, содержался резкий протест против церковного засилья в духовной и материальной жизни российского общества. Сказался и полный атеизм Маркова. Возможна также связь с отлучением Льва Толстого (1901 г.) и попытками в последние дни жизни писателя (умершего в 1910 г.) вернуть его в лоно церкви.

А.А. Марков, Ст.

А.А. Марков, Ст. был, несомненно, личностью легендарной, математический фольклор сохранил до наших дней ряд историй о нём, за достоверность которых поручиться невозможно. Я неоднократно слышал эти легенды в мои студенческие и аспирантские годы. Вот одна из них (ниже будут другие). Бросив своим прошением вызов всесильной православной церкви и правительству, А.А. Марков, Ст. всё же не хотел, чтобы об этом знала его жена. Ну, скажем, не хотел её огорчать. В один прекрасный день кухарка возвращается из города с покупками и обращается к хозяйке дома:

— Мария Ивановна, какое совпадение, нет, подумать только, какое совпадение! Отлучили от церкви. И тоже Марков. И тоже Андрей. И тоже Андреевич. И тоже математик. И тоже академик. —

Известен и его резкий протест по поводу кассации выборов Горького в почётные академики (1902 г.) и по поводу разгона Первой Государственной Думы (1906 г.) В 1912 г. Марков публично отказался участвовать в праздновании трёхсотлетия дома Романовых и, более того, несомненно, в противовес официальным торжествам организовал празднование двухсотлетия закона больших чисел14.

Приходилось мне слышать и апокрифическую историю о «галошах Маркова». В этом случае удаётся установить источник легенды и в очередной раз удивиться красоте мифологического творчества, — на сей раз математических масс. Дело, якобы, было первой революционной осенью, сразу после большевистского переворота. Академик Марков посылает письмо главе правительства Ульянову-Ленину примерно такого содержания:

«Уважаемый господин Ульянов!
К Вам обращается академик Российской Академии Наук Андрей Андреевич Марков. Дело в том, что я привык еженедельно посещать заседания Академии Наук по секции «Математика». К сожалению, в последнее время я лишён возможности участвовать в этих учёных собраниях, поскольку в Петрограде установилась холодная дождливая погода, мои единственные галоши украдены, а достать новые совершенно невозможно. Покорнейше прошу оказать мне содействие в приобретении новых галош. С почтением и т.д…, подпись».

Вождь Революции снабжает письмо резолюцией: «Тов. Бонч-Бруевичу: Прошу оказать содействие академику Маркову в приобретении галош». Бонч-Бруевич посылает революционного матроса на квартиру академика. В результате через несколько дней на столе Ленина появляется второе послание, приблизительно такое:

«Уважаемый господин Ульянов!
Хочу поблагодарить Вас за оказанную мне помощь в приобретении галош. К сожалению, я по-прежнему не в состоянии посещать заседания Академии Наук по секции «Математика», поскольку холодная дождливая погода продолжается, а присланные Вами галоши не того размера и на одну ногу. С почтением и т.д., подпись».

Что же было в действительности? Вот, что пишет, ссылаясь на архивные документы, С.Я. Гродзенский15:

«5 марта 1921 г. А.А. Марков сообщил Общему собранию, что из-за отсутствия обуви он лишён возможности посещать заседания Академии. Спустя пару недель КУБУ (Комиссия по улучшению быта учёных — Б.К.), заседавшая под председательством М.Горького, удовлетворила эту прозаическую просьбу известного математика. Но время проявило своеобразный «колорит». На заседании Физико-математического отделения Академии наук 25 мая 1921 г. Андрей Андреевич заявил: «Наконец я получил обувь; но она не только дурно сшита, но и совершенно не подходит по своим размерам. Таким образом, я по-прежнему лишён возможности правильно посещать заседания Академии. Полученную мною обувь я предлагаю поместить в Этнографическом музее как образец материальной культуры текущего момента, ради чего я готов её пожертвовать»».

Характерно, что Андрей Андреевич, Мл. не подтверждал и не отрицал галошной истории, когда я спрашивал его, правда ли всё это. Он только загадочно улыбался. Тут было что-то от знаменитой легенды об учёном-генерале16. Останавливает его курсант в коридоре Академии:

– Товарищ генерал, разрешите обратиться!

– Обращайтесь.

– А правду говорят, что Вы таблицу логарифмов наизусть знаете?

– Распространяйте, распространяйте.

Вот Андрей Андреевич своей саркастической улыбкой и говорил мне: «Распространяйте, распространяйте»…

А.А. Марков, Ст. был непримиримым противником российского антисемитизма, публично и не без персонального риска резко выступал против черносотенных организаций. Остро реагировал он на дело Бейлиса, считая, что здесь «дело идёт не о преступлении Бейлиса, а о преступлении русской юстиции, руководимой союзом русских убийц»17. Вот отрывок из его открытого письма депутату 3-й Думы, черносотенцу Замысловскому:

«Несмотря на то, что никаким судом не установлено, чтобы евреи принимали участие в убийстве Андрюши Ющинского, вы решаетесь публично и настойчиво заявлять, что они его замучили. Такая настойчивость заставляет меня указать вам, что об этом убийстве возможно совершенно иное предположение. А именно что оно совершено не «жидами», как Вы выражаетесь, а организациями, осмеливающимися именовать себя истинно русскими, или по их указанию и их поручению»18.

Когда речь шла о справедливости, незначительных случаев для А.А. Маркова, Ст. не существовало. Великий русский математик нашёл время, чтобы заступиться за безвестного еврейского абитуриента М.Жовтиса, проваленного на приёмном экзамене в Харьковский Технологический Институт. 3 сентября 1913 г. он писал своему выдающемуся коллеге В.А. Стеклову:

«Здесь д[октор] Нерц огорошил меня задачей, которую будто бы предложил на конкурсном экзамене г. Столяров, как «специально еврейскую». Если судить по тому, что напечатано в газетах, то действия г. Столярова рисуются в весьма некрасивом виде…». Разобравшись в случившемся подробнее, А.А. Марков послал 10 сентября 1913 г. письмо в харьковскую газету «Южный край». Вот извлечения из этого документа:

«Недавно и совершенно случайно из «Одесских Новостей» я узнал о случае с г. Жовтисом на экзамене г. Столярова. В настоящее время мне доставлены вырезки из вашей газеты, относящиеся к этому делу, а также точное указание предложенного уравнения; и потому я могу высказать своё суждение…

…..

В письме редакции «Одесских Новостей» г. Жовтис спрашивает, кто защитит?

Защитить его против «истинно русских» деятелей я не могу, но вот моё мнение. Предлагать на конкурсном экзамене по элементарной математике решать уравнение 10-й степени нельзя…

…..

Заставлять решать это уравнение г. Столяров не имел никакого права. Итак, г. Столяров не экзаменовал г. Жовтиса, а издевался над ним, а г. директор своими объяснениями ещё усилил это недопустимое издевательство, что меня глубоко возмущает. Акад. А. Марков»19.

Земной мой поклон Андрею Андреевичу, Старшему. Давно нет его на свете, нет, наверное, на свете и Жовтиса, но, Г-ди, как знакомо всё это. «Еврейские задачи», издевательства над еврейскими детьми, — не про мех-мат ли МГУ 1970-80-х и прочих годов всё это говорится? Да и не только про мех-мат и не только про МГУ. Невольно вспоминается другой великий русский учёный, академик А.Д. Сахаров, его беззаветная борьба за справедливость. Андрей Дмитриевич тоже нашёл время выразить возмущение преступными безобразиями на вступительных экзаменах. На сей раз речь шла о мех-мате МГУ20

А вот ещё одно смелое заявление Маркова, Ст., сделанное в 1921 г., уже в большевистские времена:

«Ввиду того, что для успешности занятий в университете студенты должны иметь лишь соответствующую подготовку, приём слушателей в университет должен производиться согласно их знаниям, а не по каким-либо классовым или политическим соображениям»21.

И опять ощущение, что говорится это про наши времена и уже, пожалуй, не только о советской реальности.

Хорошо сказал о своём отце А.А. Марков, Мл22.:

«Это был человек открытый, прямой и смелый, никогда не изменявший своим убеждениям, всю жизнь яростно боровшийся со всем, что считал глупым и вредным».

Прямоту и силу, парадоксальность характера, уверенность в своём математическом таланте выражал также знаменитый ответ Маркова, Ст. на вопрос, что такое математика:

«Математика — это то, чем занимаются Гаусс, Чебышев, Ляпунов, Стеклов и я»23.

А.А. Марков, Мл.

Маленькому Андрюше посчастливилось расти в семье настоящего российского интеллигента, в доме которого на первом месте стояли духовные ценности, культура в широком и высоком понимании этого слова. Не мог он не видеть самоотверженной творческой работы отца, его любви к науке, чувства ответственности за то, в каком направлении будет она развиваться. Не это ли, от отца унаследованное чувство ответственности за избранную им науку побудило А.А. Маркова, Мл. основать новое оригинальное направление в математике (так называемую конструктивную математику, о чём мы немного поговорим ниже)?

Андрей получил великолепное домашнее образование под общим руководством своего отца, помимо обычного курса гимназии его учили основным европейским языкам, которыми он свободно впоследствии владел, музыке, рисованию… Мальчик прекрасно играл в шахматы. Надо сказать, что его отец был одним из сильнейших российских шахматистов своего времени. В трудные времена 1917 — 1918 гг., когда семья Марковых временно жила со своими родственниками в Зарайске, А.А. Марков, Ст. преподавал «без вознаграждения» математику в классе реального училища, в котором учился сын. «И я стал, таким образом, официальным учеником своего отца» — писал впоследствии Андрей Андреевич Марков, Мл24.

Мне кажется, что настойчивое именование «Андрей Андреевич» связано с семейной артистичностью, склонностью к парадоксальности, этой артистичности отнюдь не противоречащей. И звучит ведь со всеми открытыми гласными и звонкими согласными прекрасно! Старший из сыновей А.А. Маркова, Мл. тоже был Андреем Андреевичем Марковым (11 апреля 1930 г. — 22 апреля 1996 г.), назовём его Андреем Андреевичем-3, и я не очень понимаю, почему оба сына не были названы Андреями. Возможно, возражала Прасковья Андреевна, жена А.А., Мл. Даже и возникающая неизбежно лёгкая путаница (боюсь, что читатель заметит её в нашем очерке) была вполне в русле семейной наклонности к иронии и мистификации. В настоящее время в Санкт-Петербурге живёт Андрей Андреевич Марков-4, внук А.А. Маркова, Мл., правнук А.А. Маркова, Ст. Кандидат философских наук, он активно работает в области социальной адаптации слепо-глухих детей, преодолевая огромные трудности. Андрей Андреевич-4 слеп от рождения и у него пониженный слух. Но сколько энергии в его электронных посланиях, которые я регулярно получаю! Сколько радости жизни! Урок всем нам. Конечно, А.А.-4 получал полную поддержку своих родителей, а после смерти отца ему во всём просто героически помогает Мама — Маргарита Ивановна Маркова. Известие о внезапной кончине Андрея Андреевича, Третьего, полученное в апреле 1996 г., нас потрясло. Он был дорогим, близким человеком, другом. Человеком исключительной порядочности и благородства. Вспоминаю день, проведённый с ним в разъездах. Мы должны были получить на одном из московских кладбищ и эскортировать на другое надгробный камень для могилы Михаила Андреевича Маркова (4 июля 1931 г. — 15 мая 1977 г.), младшего брата А.А.-3. С нами был Сергей Иванович Адян25. Страшный ливень лил весь день, встречные машины швыряли на ветровое стекло «Жигулей» потоки липкой грязи. Временами, казалось, вообще не было видно ничего. Но А.А.-3 удерживал нас на дороге. Он был замечательным автомобилистом. Рабочие, устанавливавшие памятник, скользили в глине… Мы стояли втроём под большим зонтом и молчали, что же тут скажешь… Беда… Андрей Андреевич, Третий приехал в наш последний день в Москве, проводить нас в Шереметьево…

Я горжусь нашей многолетней семейной дружбой с необыкновенной семьёй Марковых. Маргарита Ивановна и Андрей Андреевич Марков-4 оказали мне неоценимую помощь при написании этого очерка, сообщая и уточняя по электронной почте факты, которые иначе были бы мне совершенно недоступны.

Андрей Андреевич, Мл. мало рассказывал на моей памяти о своём детстве, но, судя по некоторым из его рассказов, отцу не всегда было с ним легко. Бывают ли, впрочем, «лёгкие дети»? Было ему тогда немного лет и жила семья на даче. К ним часто приезжал некий доцент Х26, подолгу просиживал, а когда уезжал, Марков, Ст. вслух удивлялся, что за дурак этот доцент. И вот однажды все, включая Х, сидят за чаем, рассказывает Марков, Мл.:

– Сижу я за столом, напротив Х и меня просто распирает желание вставить своё слово в разговор, сказать что-нибудь этакое, умное, неожиданное. Наконец, наступает пауза и тогда я обращаюсь к доценту Х с вопросом «Скажите, пожалуйста, а почему папа называет Вас дураком?»

– Что же сказал Ваш отец?

– Меня выставили из-за стола.

Это «выставили из-за стола» А.А. произнёс не без остаточного возмущения. Сама ситуация, видимо, не была для его родителей очень уж неожиданной. А.А. рассказывал и ещё один эпизод в том же роде. На сей раз «жертвой» был генерал, чья дача имела общий забор с марковской. Заметив однажды генерала на его стороне забора, и желая завести разговор, Андрюша вполне светски заметил:

– Ваше Превосходительство, а папа говорит, что Вы — черносотенец!

Продолжение следует.


1 Ведь и сама десятичная система счисления условна. Видимо, дело в том, что Б-г наградил нас десятью пальцами (интересный вопрос, — почему именно десятью). Будь мы роботами, видимо, считали бы на один-два, а родись осьминогами, наверное, считали бы в восьмеричной системе.

2 Как я сам и писал недавно «А век, в котором жизнь прожил / Теперь зовётся прошлым» (Вестник, №16(300), 24 июня 2002 г., стр. 52).

3 Воспоминания о Драгалине выдающегося голландского математика A.Troelstra можно найти на http://staff.science.uva.nl/~anne/dragalin.html, некролог S.Artemov, B.Kushner, G.Mints, E.Nogina and A.Troelstra, In Memoriam: Albert G. Dragalin, The Bulletin of Symbolic Logic, vol 5, No.3, 389-391,1999. Воспоминания ленинградских коллег Маслова можно найти на сайте http://www.mathsoc.spb.ru/pers/maslov/. Там же есть координаты опубликованных некрологов. Мне не удалось локализовать некролог Демута. Его памяти я посвятил большую статью и доклад конференции в Брно: B.A.Kushner, Kurt Gödel and the constructive Mathematics of A.A.Markov, Gödel ‘96, Logical Foundations of Mathematics, Computer Science and Physics — Kurt Gödel‘s Legacy, Brno, Czech Republic, August 1996, Proceedings, Lecture Notes in Logic, 6, Petr Hajek, Ed., 51-63,1996, Springer, Germany.

4 Достаточно напомнить ожесточённую дискуссию конца 17-го века по поводу « изобретения » дифференциального и интегрального исчислений. Я имею ввиду приоритетный спор между двумя великими учёными — Ньютоном и Лейбницем. (См., например, David M. Burton, The History of Mathematics, An Introduction, Second Edition, Wm.C.Brown Publ., 1991, стр. 366 и далее).

5 Действительное число называется иррациональным, если оно не представимо, как отношение двух целых чисел. В нашем примере речь идёт об иррациональности квадратного корня из двух, первом и самом знаменитом примере этого рода. Иррациональное число записывается бесконечной (непременно бесконечной!) и не периодической десятичной дробью.

6 Впрочем, сама наша способность оперировать с абстрактными понятиями, в частности, с теми же положительными целыми числами, удивительна. Можно говорить о шести яблоках, шести стульях, шести улыбках. Можно заметить что-то общее во всех этих группах объектов, возможность расположить объекты из разных групп парами. Следующий шаг, формирование идеи числа « шесть » , сущности освобождённой от любой конкретной ситуации, представляет собою подвиг абстракции, к сожалению, мало кем замечаемый.

7 Учебники геометрии Киселёва, памятные нескольким поколениям читателей, в сущности, представляют собою переработки Евклида.

8 Разряды привлекали и привлекают внимание, как профессиональных математиков, так и любителей. Мы отсылаем читателей к настоящей поэме о « пи » и рыцарях этого числа, изящно изданной книге David Blatner, The Joy of , Walker Publishing Co., New York, 1977, paperback 1999. Вдоль всей книги, по нижнему полю страниц проходит вереница едва различимых цифр: миллион (!) знаков загадочной константы.

9 « Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое: число его шестьсот шестьдесят шесть » (Откровение Святого Иоанна Богослова (Апокалипсис), 13:18).

10 Ср. Burton, цит. соч. стр. 454 и далее. 11 Вариант «алгоритм» этого термина гораздо более распространён в литературе. А.А. предпочитал здесь несколько старомодное «ф» . На мой взгляд «алгорифм» действительно звучит куда интереснее, чем «алгоритм».

12 А.А. Марков, Н.М. Нагорный, Теория алгорифмов, Наука, Москва, 1984, Второе издание, Фазис, Москва 1996. А.А. Марков, Избранные труды, том 1, Математика, Механика, Физика, Издательство МЦНМО, Москва 2002.

13 С.Я Гродзенский, Андрей Андреевич Марков. М., Наука, 1987. Сергей Яковлевич, известный шахматист, также составил и отредактировал в сотрудничестве с А.А. Марковым, Мл. замечательную книгу Шахматы в жизни ученых, М., Наука 1983 г.

14 Одна из основных теорем теории вероятностей.

15 Цит. соч., 1987, стр.136.

16 Мне помнится, что в этой легенде имелся в виду выдающийся учёный, профессор, начальник кафедры баллистики Военно-воздушной академии им. Жуковского, генерал-майор авиации Дмитрий Александрович Вентцель.

17 Гродзенский, цит. соч. 1987, стр. 104.

18 Там же, стр. 105.

19 Там же, стр.102 — 104.

20 Много лет назад мне довелось читать в Самиздате заявление Сахарова на этот счёт. Не доверяя памяти, я обратился с запросом к Сахаровскому центру при Университете Брандайса (The Andrei Sakharov Archives and Human Rights Center at Brandeis University, см. http://www.brandeis.edu/departments/sakharov/). Архивист Центра доктор Александр Грибанов любезно ответил на мой запрос, сообщив, что Заявление Сахарова от 12 июня 1979 г. имеется в архиве (единица хранения S.II.2.1.27). Моя глубокая благодарность доктору Грибанову и его коллегам по Сахаровскому Центру за их благородную деятельность по сохранению и поддержанию наследия великого учёного-гуманиста.

21 Там же, стр. 137.

22 Там же, стр. 93.

23 Там же стр. 39.

24 Там же, стр. 131.

25 С.И.Адян, известный математик.

Главная страница | Архив | Содержание номера

Номер 18(329) 3 сентября 2003 г.

[an error occurred while processing this directive]